Una ecuación interesante

(AVISO: Este post requiere ciertos conocimientos básicos de álgebra, imagino que debería ser entendido por la mayoría de mis escasos lectores, y disculpen la falta de símbolos matemáticos)

El sábado pasado tuve mi primer examen de matemáticas desde que empecé la carrera de Matemáticas Aplicadas...no puedo decir que fue la gran cosa o que estuvo muy difícil (la materia (pretenciosamente) se llama "Introducción a las Matemáticas Superiores") pero me encontré con una cosa que yo no había visto antes: una ecuación que tiene como solución un intervalo en los reales...
Estamos acostumbrados, desde la prepa o la secundaria, a decir que una ecuación de grado n tiene n soluciones (una líneal tiene una, una cuadrática tiene dos, etc) pero a veces se nos olvida que esto solamente aplica para ecuaciones de forma polinomial (de hecho éste es el teorema fundamental del álgebra es decir que "Dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades" (donde n es un número entero)) pero si la ecuación no es polinomial, las cosas se ponen un poco menos simples.

Tomemos un ejemplo sencillo: una función periódica

sen(x) = 0

Seguro muchos de nosotros pensaremos rápidamente en la solución trivial, x = 0, pero esta es sólo una de la infinidad de soluciones , por ejemplo, x= 2*Pi ( sen(2*Pi)=0 ) y en general:

sen(2*Pi*n) = 0, donde n es entero, se satisface

es decir que el conjunto solución de sen(x) = 0 es {x | x=2*Pi*n, para n entero}

conjunto que es no finito...

Sabiendo eso ya no nos resultará tan raro que una ecuación pueda tener como solución un intervalo continuo en los reales...así que vamos a ver la susodicha, tal como venía en el examen:

|x+2|+1 = 2 -|x+1|

Valores absolutos...suelen ser una molestia, vamos a medio simplificar

|x+2| + |x+1| = 1

Y entonces tenemos que considerar como están definidos estos valores absolutos. En general:

Entonces, tomando por partes:
si x ≤ -2: x+2 ≤ 0 y x+1 ≤ 0
En ese caso |x+2| = -(x+2) y |x+1| = -(x+1) (Por la definición de ahí arriba)

Entonces:

si x ≤ -2

-(x+2) - (x+1) = 1
-x - 2 - x - 1 = 1
-2x -3 = 1
-2x = 4

luego, x = -2

Otro caso es x ≥ -1: x+2 ≥ 0 y x+1 ≥ 0
En ese caso |x+2| = x +2 y |x+1| = x+1

Entonces:

si x ≥ -1

x+2 + x+ 1 = 1
2x +3 = 1
2x = -2

luego, x = -1


Hasta ahora hemos visto los casos para los que tanto x +2 como x +1 son ambos negativos, o ambos positivos, nos queda analizar cuando uno es positivo y otro negativo.

Pero, si x +1 ≥ 0 entonces x +2 ≥ 0 pues:

x +1 ≥ 0
x +1 +1 ≥ 1
x +2 ≥ 1
y además 1 ≥ 0
entonces por transitividad:
x+2 ≥ 0

así que el único caso posible es que x + 2 ≥ 0 y x +1 ≤ 0, es decir -2 ≤ x ≤ -1

en ese caso |x+2| = x +2 y |x+1| = -(x+1)

Entonces:

x+2 - (x+1) = 1
x + 2 - x - 1 = 1
1 = 1

Lo cual es una identidad! Es decir que no importando que valor de x metamos ahí, siempre sera cierto que |x+2| + |x+1| = 1, siempre y cuando -2 ≤ x ≤ -1...

(Aquí es donde nos damos cuenta que hicimos los casos anteriores para nada, y gastamos valioso tiempo de examen)

Así que la solución para esa ecuación es cualquier valor x | -2 ≤ x ≤ -1 ó escrito de otra manera: [-2,-1]
Interesante no?, pero algo nos dice que este caso no puede ser tan particular asi que miremos nuestra ecuación original:

|x+2|+1 = 2 -|x+1|

Cambiemos 2 por a y 1 por b

|x+a| + b = a - |x+b|

es decir

|x+a| + |x+b| = a - b

a - b por supuesto, debe ser no negativo, pues tenemos una suma de valores absolutos que ambos son, por definción, no negativos, es decir que a ≥ b

y sabemos que la solución para cualquier ecuación con esta forma es [-a,-b]

...La verdad es que no se para que rayos nos puede servir esto en la vida real, pero me pareció interesante, quizá alguno de ustedes pueda llevarlo más lejos y/o encontrarle alguna aplicación?