miércoles, 15 de octubre de 2008

Una ecuación interesante

(AVISO: Este post requiere ciertos conocimientos básicos de álgebra, imagino que debería ser entendido por la mayoría de mis escasos lectores, y disculpen la falta de símbolos matemáticos)

El sábado pasado tuve mi primer examen de matemáticas desde que empecé la carrera de Matemáticas Aplicadas...no puedo decir que fue la gran cosa o que estuvo muy difícil (la materia (pretenciosamente) se llama "Introducción a las Matemáticas Superiores") pero me encontré con una cosa que yo no había visto antes: una ecuación que tiene como solución un intervalo en los reales...
Estamos acostumbrados, desde la prepa o la secundaria, a decir que una ecuación de grado n tiene n soluciones (una líneal tiene una, una cuadrática tiene dos, etc) pero a veces se nos olvida que esto solamente aplica para ecuaciones de forma polinomial (de hecho éste es el teorema fundamental del álgebra es decir que "Dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades" (donde n es un número entero)) pero si la ecuación no es polinomial, las cosas se ponen un poco menos simples.

Tomemos un ejemplo sencillo: una función periódica

sen(x) = 0

Seguro muchos de nosotros pensaremos rápidamente en la solución trivial, x = 0, pero esta es sólo una de la infinidad de soluciones , por ejemplo, x= 2*Pi ( sen(2*Pi)=0 ) y en general:

sen(2*Pi*n) = 0, donde n es entero, se satisface

es decir que el conjunto solución de sen(x) = 0 es {x | x=2*Pi*n, para n entero}

conjunto que es no finito...

Sabiendo eso ya no nos resultará tan raro que una ecuación pueda tener como solución un intervalo continuo en los reales...así que vamos a ver la susodicha, tal como venía en el examen:

|x+2|+1 = 2 -|x+1|

Valores absolutos...suelen ser una molestia, vamos a medio simplificar

|x+2| + |x+1| = 1

Y entonces tenemos que considerar como están definidos estos valores absolutos. En general:

Entonces, tomando por partes:
si x ≤ -2: x+2 ≤ 0 y x+1 ≤ 0
En ese caso |x+2| = -(x+2) y |x+1| = -(x+1) (Por la definición de ahí arriba)

Entonces:

si x ≤ -2

-(x+2) - (x+1) = 1
-x - 2 - x - 1 = 1
-2x -3 = 1
-2x = 4

luego, x = -2

Otro caso es x ≥ -1: x+2 ≥ 0 y x+1 ≥ 0
En ese caso |x+2| = x +2 y |x+1| = x+1

Entonces:

si x ≥ -1

x+2 + x+ 1 = 1
2x +3 = 1
2x = -2

luego, x = -1


Hasta ahora hemos visto los casos para los que tanto x +2 como x +1 son ambos negativos, o ambos positivos, nos queda analizar cuando uno es positivo y otro negativo.

Pero, si x +1 ≥ 0 entonces x +2 ≥ 0 pues:

x +1 ≥ 0
x +1 +1 ≥ 1
x +2 ≥ 1
y además 1 ≥ 0
entonces por transitividad:
x+2 ≥ 0

así que el único caso posible es que x + 2 ≥ 0 y x +1 ≤ 0, es decir -2 ≤ x ≤ -1

en ese caso |x+2| = x +2 y |x+1| = -(x+1)

Entonces:

x+2 - (x+1) = 1
x + 2 - x - 1 = 1
1 = 1

Lo cual es una identidad! Es decir que no importando que valor de x metamos ahí, siempre sera cierto que |x+2| + |x+1| = 1, siempre y cuando -2 ≤ x ≤ -1...

(Aquí es donde nos damos cuenta que hicimos los casos anteriores para nada, y gastamos valioso tiempo de examen)

Así que la solución para esa ecuación es cualquier valor x | -2 ≤ x ≤ -1 ó escrito de otra manera: [-2,-1]
Interesante no?, pero algo nos dice que este caso no puede ser tan particular asi que miremos nuestra ecuación original:

|x+2|+1 = 2 -|x+1|

Cambiemos 2 por a y 1 por b

|x+a| + b = a - |x+b|

es decir

|x+a| + |x+b| = a - b

a - b por supuesto, debe ser no negativo, pues tenemos una suma de valores absolutos que ambos son, por definción, no negativos, es decir que a ≥ b

y sabemos que la solución para cualquier ecuación con esta forma es [-a,-b]

...La verdad es que no se para que rayos nos puede servir esto en la vida real, pero me pareció interesante, quizá alguno de ustedes pueda llevarlo más lejos y/o encontrarle alguna aplicación?

2 comentarios:

Edu dijo...

Bien.. interesante!!!

Y veo que ya empiezan a surgir cambios en tu nueva formación como matemático.. espero que pongas más de estas cosas acá y saludos!!!

Jetzabel dijo...

hola...

pues esta bonita la ecuación, no la hubiere imaginado, pues yo no solo he notado cambios en tu nueva formación como MATEMATICO, tambien hay cambios de otro tipo, creo que el itam te ha sentado bien.